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Leopold Fejer Gesammelte Arbeiten I
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208 b
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an asymptotisch darstellt", wenn . a;n 1 1m--= 1, n=oow(n) oder anders ausgedrückt, wenn a:n = w(n) (1 + Bn), wobei Wir werden dies mit bezeichnen. Zur Bestimmung eines solchen asymptotischen Ausdrucks w(n) hat DAR Boux1 eine sehr allgemeine Methode gegeben. Er bildet die Potenzreihe (1) der komplexen Veränderlichen z und zeigt, daß der asymptotische Wert von a:n von denjenigen Singularitätastellen der analytischen Funktion f(z) abhängt, die auf der Peripherie des Konvergenzkreises der Potenzreihe (1) liegen. Ich werde jetzt mit einigen Worten die DARBOUXschen Resultate dar legen. Damit die DARBouxsche Methode anwendbar sei, muß notwendigerweise vorausgesetzt werden, daß der Radius des Konvergenzkreises der Potenz reihe (l) eine von Null und von + oo verschiedene positive Zahl R ist. Nehmen wir ferner an, daß die Anzahl der Singularitätastellen (JylJ = Y2 = · · · = JykJ = R) der Funktionf(z) (eigentlich der durch die Reihe (1) gewinnbaren unmittel baren analytischen Fortsetzung derselben) auf dem Konvergenzkreis mit dem Radius R endlich ist. Da nun DARBOUX beweist, daß die Singularitäta stellen Yv y , , Yk solche Teile
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